对于一个函数的求导,根据 product rule,我们有 $$(f \cdot g) \prime = f \prime \cdot g+f \cdot g \prime$$
变下形: $$ fg \prime = (fg) \prime -f \prime g $$
加上积分符号,不知道怎么地,就有: $$\int fg \prime dx=fg- \int f \prime gdx$$
然后,不知道怎么地,改写一下,就得出了这个分部积分的公式: $$\int fdg=fg- \int gdf$$


有了这个公式之后基本上就可以无脑地把东西往里边套了,比如我现在想积分 $$\int xe^{x}dx$$
就可以令 $f=x, dg=e^{x}dx$ 。然后就可以得到 $df=1dx, g=e^{x}$ ,
把他们塞进公式 $\int fdg=fg- \int gdf$ 里,就可以得到
$$xe^{x}- \int e^{x}dx$$
这时候就贼好算了。


再举个例子, $$\int xcos(x)dx$$
让 $f=x, dg=cos(x)dx$ ,就有 $df=dx, g=sin(x)$ 。
塞进公式里,就有
$$xsin(x)- \int sin(x)dx$$
这个应该就很好算了。


只要思想不滑坡,困难总比办法多办法总比困难多,还有一种方法…其实也算是一种方法,就是把某些步骤快进一下,以达到更快的做题速度的目的。
我们班里管这个叫做“搬砖”
就是可以先把其中一个先拿出来积分,写成跟上面$\int fdg$差不多的样子,然后就可以一秒写出$fg- \int gdf$这样子的来了,就可以省下不少的时间。

比如说我现在想要解出这个 $$\int xsin(x)dx$$
那么我就可以先把$sinx$先行积分,拿到$d$的后面去,大概是变成$\int xd[\int sin(x)]$,然后再把d后面那个解出来,变成 $$\int xd[-cos(x)]$$
然后就可以根据公式一步写出 $$-xcosx-\int -cos(x)dx$$
然后就可以解出它的答案 $$sin(x)-xcos(x)+C$$


另外安利一下中华科技大学的教学视频

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