在求一个级数的和的时候,有时候可能会遇到长成这样子这样子的级数
$$ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{a(a+b)} $$
像这种这里面的$\frac{1}{a(a+b)}$就可以利用裂项相消来把它干掉。


举个例子,有一个这样的级数,要求和
$$ \sum_{n=2}^{\infty}\frac{-2}{(n+1)(n+2)} $$
我们就可以把他的分母左右两边拆开,看看有没有办法把他给化简(可以这样描述吧?)
先不看那个求和符号,先把右边那个分数暴力地拆散,拆成
$$\frac{-2}{n+1}-\frac{-2}{n+2}$$
如果不信可以这样拆的话,可以把这个通分回去,看看等不等于原来的$\frac{-2}{(n+1)(n+2)}$。
通分看看:
$$ \frac{-2}{n+1}-\frac{-2}{n+2} =\frac{-2}{n+1}-\frac{-2}{n+2} = \frac{-2(n+2)}{(n+1)(n+2)}-\frac{-2(n+1)}{(n+1)(n+2)} =\frac{-2}{(n+1)(n+2)} $$
就是和原来的一样了。

现在,我们知道可以把这个玩意儿拆成$\frac{-2}{n+1}-\frac{-2}{n+2}$这样子之后,
然后就可以按照$ \sum_{n=2}^{\infty}\frac{-2}{n+1}-\frac{-2}{n+2} $把他给数字代进去,
就有
$$ \sum_{n=2}^{\infty}\frac{-2}{n+1}-\frac{-2}{n+2} $$ $$ =\frac{-2}{2+1}-\frac{-2}{2+2}+\frac{-2}{3+1} -\frac{-2}{3+2}+\frac{-2}{4+1}-\frac{-2}{4+2}+...+\frac{-2}{n+1}-\frac{-2}{n+2}+... $$
然后就发现有很多得数相同的一加一减,然后就可以划掉
划掉

剩下$\frac{-2}{3}-\frac{-2}{n+2}$,把他写回去,就有
$$\lim_{x \to \infty}\sum_{n=2}^{\infty}\frac{-2}{3}-\frac{-2}{n+2} = \lim_{x \to \infty}-\frac{2}{3}-\frac{-2}{n+2} = -\frac{2}{3}$$

结果就是$=-\frac{2}{3}$,然后就没有然后了。


额外需要注意的是,如果遇到一个序列拆开来再通分回去发现不等于原来的式子的情形,
需要再乘多一项,把他搞到和原式相等才可以。

比如这个 $$\frac{1}{(2n+1)(2n-1)}$$
如果按照上述方法直接暴力地拆开来会变成 $$\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n-1}$$
其实这样是不对的,如果通一下分就会发现 $$\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n-1} = \frac{2n-1}{(2n+1)(2n+1)}-\frac{2n+1}{(2n+1)(2n+1)} = \frac{-2}{(2n+1)(2n+1)}$$
分子是-2,并不是原式的1,这种情形就需要整个乘以一个$-\frac{1}{2}$,让他和原式相等。所以正确的拆法应该是 $$= -\frac{1}{2}(\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n-1})$$


ref:
Youtube - Partial fraction decomposition to find sum of telescoping series
Wikipedia - Telescoping series

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