⚠️ 这类问题中可能会含有大量的数字。各位做题家们小心计算,以免出错。

二阶矩阵的行列式

有一个二阶矩阵的行列式
$$ det(A) = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} $$
计算它就是 $ det(A) = a \cdot d - b \cdot c $,就是对角线减去对角线。

比如计算 $ \begin{vmatrix} 8 & 9 \\ 6 & 4 \end{vmatrix} $,就是 $8 \cdot 4 - 9 \cdot 6 = -22 $。


三阶矩阵的行列式

有一个三阶矩阵的行列式
$$ det(A) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} $$
这种也可以对角线,但是比较麻烦。
式子是
$$ det(A) = \begin{matrix} a \cdot e \cdot i + b \cdot f \cdot g + d \cdot h \cdot c & \\ - c \cdot e \cdot g - b \cdot d \cdot i - f \cdot h \cdot a & \end{matrix} $$

看晕了?请看下图:

det_in_3d

例如计算以下三阶矩阵的行列式
$$ \begin{vmatrix} 1 & 1 & 4 \\ 5 & 1 & 4 \\ 8 & 1 & 0 \end{vmatrix} $$
就是$ 1 \cdot 1 \cdot 0 + 1 \cdot 4 \cdot 8 + 5 \cdot 1 \cdot 4 - 4 \cdot 1 \cdot 8 - 1 \cdot 5 \cdot 0 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 16$。


二阶矩阵的行列式可以用来解这个二阶线性方程组;
三阶矩阵的行列式可以用来解这个三阶线性方程组。
虽然我也不知道它的原理是什么

二元线性方程组

有一个二元线性方程组
$$ \left\{\begin{matrix} a_{11} \cdot x_{1} + a_{12} \cdot x_{2} = b_{1} \\ a_{21} \cdot x_{1} + a_{22} \cdot x_{2} = b_{2} & \end{matrix}\right. $$
那么就可以列出一个二阶矩阵
$$ D = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} $$
然后,

用$b_{1}$替换矩阵$D$里的$a_{11}$,$b_{2}$替换$a_{21}$得出一个新的矩阵$D_{1}$;

用$b_{1}$替换矩阵$D$里的$a_{12}$,$b_{2}$替换$a_{22}$得出一个新的矩阵$D_{2}$。

现在我们就有了三个矩阵,分别是

$ D = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} $, $D_{1} = \begin{vmatrix} b_{1} & a_{12} \\ b_{2} & a_{22} \end{vmatrix}$ 和 $ D_{2} =\begin{vmatrix} a_{11} & b_{1} \\ a_{21} & b_{2} \end{vmatrix} $。

然后,计算出$D$、$D_{1}$和$D_{2}$。

最后,这个二元线性方程组的解就是 $ x_{1} = \frac{D_{1}}{D} ,\quad x_{2} = \frac{D_{2}}{D} $

例:
$$\left\{\begin{matrix}3x_{1}+x_{2}=5 & \\ 2x_{1}-4x_{2}=-6 & \end{matrix}\right.$$
解:

令$D = \begin{vmatrix}3 & 1\\ 2 & -4\end{vmatrix} ,\quad D_{1} = \begin{vmatrix}3 & 5\\ 2 & -6\end{vmatrix} ,\quad D_{2} = \begin{vmatrix}5 & 1\\ -6 & -4\end{vmatrix}$

计算得,$D=-14,\quad D_{1}=-28,\quad D_{2}=-14$

所以 $x_{1}=\frac{D_{1}}{D}=\frac{-28}{-14}=2 ,\quad x_{2}=\frac{D_{2}}{D}=\frac{-14}{-14}=1$.


三阶线性方程组

三阶线性方程组和二阶的差不多,假如现在有一个三元线性方程组
$$\left\{\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+a_{13}x_{3}=b_{1}\\ a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+a_{23}x_{3}=b_{1}\\ a_{31}x_{1}+a_{32}x_{2}+a_{33}x_{3}=b_{1}\end{matrix}\right.$$
那么我们就可以写出四个这个玩意儿,分别是
$$ D = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}, \quad D_{1} = \begin{vmatrix} b_{1} & a_{12} & a_{13} \\ b_{2} & a_{22} & a_{23} \\ b_{3} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}, \quad D_{2} = \begin{vmatrix} a_{11} & b_{1} & a_{13} \\ a_{21} & b_{2} & a_{23} \\ a_{31} & b_{3} & a_{33} \end{vmatrix}, \quad D_{3} = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & b_{1} \\ a_{21} & a_{22} & b_{2} \\ a_{31} & a_{32} & b_{3} \end{vmatrix} $$
同样地,它的解就是
$$x_{1}=\frac{D_{1}}{D},\quad x_{2}=\frac{D_{2}}{D},\quad x_{3}=\frac{D_{3}}{D}$$

标签: 线性代数, 行列式