分部积分

Youon Pak
Math

对于一个函数的求导，根据 product rule，我们有 $$(f \cdot g) \prime = f \prime \cdot g+f \cdot g \prime$$
变下形： $$ fg \prime = (fg) \prime -f \prime g $$
加上积分符号~~，不知道怎么地，~~就有： $$\int fg \prime dx=fg- \int f \prime gdx$$
然后，~~不知道怎么地，~~改写一下，就得出了这个分部积分的公式： $$\int fdg=fg- \int gdf$$

有了这个公式之后基本上就可以无脑地把东西往里边套了，比如我现在想积分 $$\int xe^{x}dx$$
就可以令 $f=x, dg=e^{x}dx$ 。然后就可以得到 $df=1dx, g=e^{x}$ ，
把他们塞进公式 $\int fdg=fg- \int gdf$ 里，就可以得到
$$xe^{x}- \int e^{x}dx$$
这时候就贼好算了。

再举个例子， $$\int xcos(x)dx$$
让 $f=x, dg=cos(x)dx$ ，就有 $df=dx, g=sin(x)$ 。
塞进公式里，就有
$$xsin(x)- \int sin(x)dx$$
这个应该就很好算了。

只要思想不滑坡，困难总比办法多办法总比困难多，还有一种方法…其实也算是一种方法，就是把某些步骤快进一下，以达到更快的做题速度的目的。
我们班里管这个叫做“搬砖”
就是可以先把其中一个先拿出来积分，写成跟上面$\int fdg$差不多的样子，然后就可以一秒写出$fg- \int gdf$这样子的来了，就可以省下不少的时间。

比如说我现在想要解出这个 $$\int xsin(x)dx$$
那么我就可以先把$sinx$先行积分，拿到$d$的后面去，大概是变成$\int xd[\int sin(x)]$，然后再把d后面那个解出来，变成 $$\int xd[-cos(x)]$$
然后就可以根据公式一步写出 $$-xcosx-\int -cos(x)dx$$
然后就可以解出它的答案 $$sin(x)-xcos(x)+C$$

另外安利一下中华科技大学的教学视频